Question

9．若椭圆的中点在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程，和直线方程联立后化为关于y的一元二次方程，然后利用根与系数关系求解．

解答 解：焦点为（0，2），焦点位于y轴，且c=2，
则a²-b²=4，
∴可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+4}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+7}\\{\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+4}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（10b²+4）y²-14（b²+4）y-9b⁴+13b²+196=0，
设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{14（{b}^{2}+4）}{10{b}^{2}+4}$=2，
解得：b²=8．
∴a²=12．
$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆方程的求法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，是中档题．