Question

2．已知△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，$AB=1，BC=\sqrt{2}$．
（1）求AC的长；
（2）设$f（x）={cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$，若$f（B）=-\sqrt{3}$，求sinA．

Answer 1

分析 （1）由三角形面积公式可以得到sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由余弦定理即可得到AC的长．
（2）由三角恒等变换及等式得到B=$\frac{3π}{4}$．由正弦定理得到sinA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

解答 解：（1）∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB，$AB=1，BC=\sqrt{2}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$
由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AC•BC•cosB，
即AC²=1或5，
∴当B=$\frac{π}{4}$时AC=1；
当B=$\frac{3π}{4}$时AC=$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）化简得f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（$\frac{π}{6}$+2x）．
由f（B）=-$\sqrt{3}$，得sin（$\frac{π}{6}$+2B）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
由（Ⅰ）知B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，代入上式验证可得B=$\frac{3π}{4}$．
由$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，得$\frac{{\sqrt{2}}}{sinA}=\frac{{\sqrt{5}}}{{sin\frac{3π}{4}}}$，
解得sinA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查三角形面积公式，余弦定理，三角恒等变换化简及正弦定理．