Question

11．已知抛物线y²=16x的焦点F，M是抛物线C上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆D与抛物线C的准线相切，则圆D与直线x-$\sqrt{3}$y-2=0相交得到的弦长为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 4
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出圆D的圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆D与直线x-$\sqrt{3}$y-2=0相交得到的弦长．

解答 解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=$\frac{p}{2}$=4，
∴圆的半径为6，圆心的横坐标为2，
∴圆心的纵坐标为±$\sqrt{36-4}$=±4$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|2-4\sqrt{6}-2|}{2}$=2$\sqrt{6}$，
∴圆D与直线x-$\sqrt{3}$y-2=0相交得到的弦长为2$\sqrt{36-24}$=4$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于中档题．