Question

13．函数f（x）=x²-2ax+1，其中a＜1，在闭区间[-1，1]上的最小值记为g（a）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求g（a）的值；
（2）求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）化简二次函数，求出最小值即可；
（2）求出f（x）的对称轴是x=a，通过i）当a≤-1时，ii）当a≥1时，iii）当-1＜a＜1时分别求解函数的最小值即可得到结果．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²-x+1，f（x）的最小值为$\frac{3}{4}$，g（a）=$\frac{3}{4}$
（2）f（x）的对称轴是x=a
i）当a≤-1时，f（x）在区间[-1，1]上为增函数，g（a）=f（-1）=2a+2
ii）当a≥1时，f（x）在区间[-1，1]上为减函数，g（a）=f（1）=2-2a
iii）当-1＜a＜1时，f（x）在x=a时最小，g（a）=1-a²
综上所述$g（a）=\left\{{\begin{array}{l}{2a+2，a≤-1}\\{1-{a^2}，-1＜a＜1}\\{2-2a，a≥1}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查二次函数的性质，函数的最值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．