Question

16．若函数f（x）=x²-2x+alnx存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则t＜$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$恒成立，则t（　　）

• A． 有最大值-$\frac{3}{2}-$ln2，无最小值
• B． 有最小值-$\frac{3}{2}$-ln2，无最大值
• C． 无最大值也无最小值
• D． 有最大值4ln2，且有最小值-$\frac{3}{2}$-ln2

Answer 1

分析 根据f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．转化成一元二次方程2x²-2x+a=0的两个根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，根据根与系数的关系，将x₁用x₂表示，求得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$的表达式，再求最值．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$2x-2+\frac{a}{x}=\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$，
∵f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴x₁，x₂是一元二次方程2x²-2x+a=0的两个根，
由x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，则a=2x₂（1-x₂），
f（x₁）=x₁²-2x₁+alnx₁
=（1-x₂）${\;}^{{\;}^{2}}$-2（1-x₂）+2x₂（1-x₂）ln（1-x₂）．$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
所以$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{{\;}_{2}}}$=x₂+2（1-x₂）ln（1-x₂）-$\frac{1}{{x}_{2}}$．$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
令g（x）=x+2（1-x）ln（1-x）-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$＜x＜1，
g′（x）=1-2ln（1-x）-2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=-1-2ln（1-x）+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
所以g（x）是增函数，所以x=$\frac{1}{2}$时，g（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{3}{2}$-ln2；x→1时，g（x）→0；
所以t$≤-\frac{3}{2}$-ln2，没有最小值；
故选A．

点评 本题考查了利用导数求函数的单调区间及不等式成立的综合应用，同时考查了根与系数的关系，化简比较繁琐，注意要细心，属于难题．