Question

11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（2c+b，a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ） 求角A的大小；    
（Ⅱ） 若a=4$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，化简得到2sinCcosA+sinC=0，由sinC≠0可得cosA，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理，基本不等式可求bc≤16，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（2c+b，a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴cosA（2c+b）+acosB=0，
∴由正弦定理可得：2sinCcosA+sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA+sin（A+B）=2sinCcosA+sinC=0，
∵C∈（0，π），sinC≠0，可得：cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{2π}{3}$，a=4$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：48=b²+c²+bc≥3bc，即：bc≤16，（当且仅当b=c=4时等号成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，（当且仅当b=c=4时等号成立），
∴△ABC面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．