Question

14．已知定义在R上的函数f（x）满足：
（1）函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；
（2）对?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立
（3）当x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$]时，f（x）=log₂（-3x+1），则f（2011）=（　　）

• A． -5
• B． -4
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 根据（1）得函数f（x）是奇函数，由（2）得到函数是周期为3的周期函数，结合函数的奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是奇函数，
由f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）得f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）=-f（x-$\frac{3}{4}$），
则f（$\frac{3}{2}$+x）=-f（x），即f（x+3）=-f（$\frac{3}{2}$）=f（x），
则函数f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2011）=f（671×3+1）=f（1）=-f（-1），
∵当x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$]时，f（x）=log₂（-3x+1），
∴f（-1）=log₂（3+1）=log₂4=2，
则f（2011）=f（1）=-f（-1）=-2，
故选：D

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据条件分别判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．