Question

3．设函数y=f（x）在R内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤K}\\{K，f（x）＞K}\end{array}\right.$，取函数f（x）=2^-|x|．当K=$\frac{1}{2}$时，函数f_K（x）的单调递减区间为（1，+∞）．

Answer 1

分析 先根据题中所给函数定义求出函数函数f_K（x）的解析式，从而得到一个分段函数，然后再利用指数函数的性质求出所求即可．

解答 解：由f（x）=2^-|x|≤$\frac{1}{2}$ 可得，$（\frac{1}{2}）^{|x|}$≤$\frac{1}{2}$，
∴|x|≥1，解得：x≤-1或x≥1．
∴f_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≥1}\\{{2}^{x}，x≤-1}\\{\frac{1}{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$．
由此可见，函数f_K（x）在（-∞，-1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．