Question

15．设数列{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₂，a₃}⊆{-8，-3，-2，0，1，4，9，16，-27}，数列{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=2a_n•b_n，求数列{c_n}得前项和数列S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列是等差数列，通过元素与集合关系，求出数列项，得到通项公式，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）数列{a_n}为递增的等比数列，则其公比为正数，
又{a₁，a₂，a₃}⊆{-8，-3，-2，0，1，4，9，16，-27}，
∴a₁=1，a₂=4，a₃=16，∴${a_n}={4^{n-1}}（n∈{N_+}）$，…（3分）
设数列{b_n}的公差为d，
由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}={b_1}+{b_3}\\{a_2}={b_2}+{b_4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}2{b_1}+2d=1\\ 2{b_1}+4d=4\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}d=\frac{3}{2}\\{b_1}=-1\end{array}\right.$
所以${b_n}=\frac{1}{2}（3n-5）$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${c_n}=2•\frac{1}{2}（3n-5）•{4^{n-1}}=（3n-5）•{4^{n-1}}$，…（7分）
又S_n=c₁+c₂+L+c_n，
∴${S_n}=（-2）•{4^0}+1•{4^1}+4•{4^2}+L+（3n-5）•{4^{n-1}}$，$4{S_n}=（-2）•{4^1}+1•{4^2}+4•{4^3}+L+（3n-5）•{4^n}$，…（8分）
两式相减得$-3{S_n}=（-2）•{4^0}+3•{4^1}+3•{4^2}+L+3•{4^{n-1}}-（3n-5）•{4^n}$
=$-2+3\frac{{4（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}-（3n-5）•{4^n}$…（11分）
=（6-3n）4ⁿ-6.${S_n}=（n-2）•{4^n}+2$．…（12分）

点评 本题考查数列求和，等差数列以及数列的性质的应用，考查计算能力．