Question

20．在如图所示的直角坐标系xOy中，点A、B是单位圆上的点，且A（1，0），∠AOB=$\frac{π}{3}$，现有一动点C在单位圆的劣弧$\widehat{AB}$上运动，设∠AOC=α．
（1）求点B的坐标；
（2）若tanα=$\frac{1}{3}$，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的值；
（3）若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x、y∈R，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据单位圆的定义以及∠AOB=$\frac{π}{3}$，求出点B的坐标；
（2）由tanα=$\frac{1}{3}$，求出cosα的值，计算$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值即可；
（3）根据$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，列出方程，求出x、y的表达式，再求x+y的最大值即可．

解答 解：（1）∵A（1，0），∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1{-cos}^{2}α}{{cos}^{2}α}$=$\frac{1}{9}$，
解得cos²α=$\frac{9}{10}$；
又∵0≤α≤$\frac{π}{3}$，
∴cosα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OB}$|×cosα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（3）∵A（1，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∠AOC=α，（0≤α≤$\frac{π}{3}$），
∴C（cosα，sinα）；
又∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）；
∴（cosα，sinα）=（x+$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）；
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=x+\frac{1}{2}y}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，
解得y=$\frac{2sinα}{\sqrt{3}}$，x=cosα-$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$；
∴x+y=cosα+$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α+θ），其中tanθ=$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$=$\sqrt{3}$，∴θ=$\frac{π}{3}$；
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，sin（α+θ）=1，x+y取得最大值，为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的求值以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是综合性题目．