Question

已知集合P={x，y|3x-4y+3≥0，4x+3y-6≤0，y≥0，x≥0}，Q={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤r²}，若点M∈P是点M∈Q的必要条件，则当r最大时，ab的值为

 

．

Answer 1

考点：必要条件

专题：简易逻辑

分析：先由点M∈P是点M∈Q的必要条件得Q⊆P，然后化简集合A，B，利用图象数形结合求解．

解答：解：若点M∈P是点M∈Q的必要条件，则Q⊆P，即集合Q所表示的点集在集合P内，
由于集合Q表示的是圆及其内部，故本题其实就是求图示的四边形AODC的内切圆半径，
考虑到这个四边形不一定有内切圆，所以，先确定三角形AOB的内切圆．A（

3

2

，0）、O（0，0）、B（0，2），
则三角形AOB的内切圆半径是R=

OA+OB-AB

2

=（

3

2

+2-

5

2

）×

1

2

=

1

2

，
即三角形AOB的内切圆圆心为P（

1

2

，

1

2

）半径为

1

2

，再计算点P到直线3x-4y+3=0的距离d=|

3

2

-2+3|×

1

5

5=

1

2

=R，
这说明圆P与直线3x-4y+3=0也相切，即Q中圆的最大半径是

1

2

，
所以，R的最大值是

1

2

，此时圆心为（

1

2

，

1

2

），
从而当R最大时，ab=

1

4

．
故答案为；

1

4

．

点评：数形结合数学中常用方法，要熟练掌握．