Question

10．为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表：

本数 人数 性别	0	1	2	3	4	5
男生	0	1	4	3	2	2
女生	0	0	1	3	3	1

（I）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率；
（II）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望；
（III）试判断男学生阅读名著本数的方差$s_1^2$与女学生阅读名著本数的方差$s_2^2$的大小（只需写出结论）．

Answer 1

分析 （I）全班有12个男生，8个女生，由此求出男、女各选1人的方法数，再求出这两名学生阅读名著本数之和为4的方法数，由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．
（II）由已知随机变量 X的可能的取值有0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（III）利用调查表能判断男学生阅读名著本数的方差$s_1^2$与女学生阅读名著本数的方差$s_2^2$的大小．

解答 解：（I）全班有12个男生，8个女生，
所以男、女各选1人的方法数m=12×8=96
而这两名学生阅读名著本数之和为4的方法数n=1×3+4×1=7，
所以这两名学生阅读名著本数之和为4的概率为p=$\frac{n}{m}=\frac{7}{96}$…（3分）
（II）由已知随机变量 X的可能的取值有0，1，2，3，4，
${P}（{{X}=0}）=\frac{C_4^0C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$，
${P}（{{X}=1}）=\frac{C_4^1C_4^3}{C_8^4}=\frac{8}{35}$，
${P}（{{X}=2}）=\frac{C_4^2C_4^2}{C_8^4}=\frac{18}{35}$，
${P}（{{X}=3}）=\frac{C_4^3C_4^1}{C_8^4}=\frac{8}{35}$，
${P}（{{X}=4}）=\frac{C_4^4C_4^0}{C_8^4}=\frac{1}{70}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

∴X的数学期望为${E}{X}=1×\frac{8}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{8}{35}+4×\frac{1}{70}=2$…（9分）
（III）$s_1^2＜s_2^2$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查方差大小的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．