Question

20．四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，AD=2$\sqrt{3}$，AB=2，PA=PD，∠APD=$\frac{π}{2}$，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）设AD的中点为E，证明PA⊥平面PCD，即可证明PA⊥PC；
（2）连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取截面PEF，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的体积．

解答 证明：（1）设AD的中点为E，则
∵PA=PD，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∵PA在平面ABCD内的射影为AE，AE⊥CD，
∴PA⊥CD，
∵PA⊥PD，CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD
∴PA⊥PC；
解：（2）连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取截面PEF，PE=$\sqrt{3}$，EF=1．
假设OF=x，则由OA²=x²+4=1+$（\sqrt{3}-x）^{2}$得x=0，
∴球的半径为2，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的体积为$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32}{3}π$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P-ABCD的外接球的体积，属于中档题．