Question

1．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，判断f（x）的单调性（无需证明），并求出使得不等式  f（x²-tx）+f（4-x）＞0对任意x∈[1，2]上恒成立的t的取值范围；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x，且g（x）≥2mf（x）在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，求k的值；
（2）由f（1）＜0可得0＜a＜1，由此可判断f（x）的单调性，利用函数的性质可去掉符号“f”，化为二次不等式，进而可得运用分离参数，求最小值即可；
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$可得a=2，通过换元可把g（x）化为二次函数，讨论二次函数的对称轴可求最小值，令其大于等于0，可求m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴k-1=0，∴k=1，…（2分）
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
若f（1）＜0，则a-$\frac{1}{a}$＜0，
∵a＞0且a≠1，
∴a²-1＜0，即0＜a＜1  …（4分）
∵a^x单调递减，a^-x单调递增，
故f（x）在R上单调递减．
不等式  f（x²-tx）+f（4-x）＞0化为f（x²-tx）＜f（x-4），
∴x²-tx＞x-4，即x²+（-t-1）x+4＞0对任意x∈[1，2]上恒成立，
∴t+1＜x+$\frac{4}{x}$对任意x∈[1，2]上恒成立，解得t＜3；（6分）
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$，…（8分），
∴$a-\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）…（9分）
∴g（x）-2mf（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵2≥x≥1，∴$\frac{15}{4}$≥t≥$\frac{3}{2}$，
g（x）≥2mf（x）在x∈[1，2]上恒成立，可得2m≤t+$\frac{2}{t}$
∴2m≤$\frac{17}{6}$，∴m≤$\frac{17}{12}$，
综上可知m≤$\frac{17}{12}$．（14分）

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合较强．