Question

（本小題满分12分）已知数列满足，且对任意非负整数均有：

．

（1）求；

（2）求证：数列是等差数列，并求的通项；

（3）令，求证：

 

Answer 1

（1），；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据题意恰当的进行赋值，求数列中某些项的值；（2）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明；二是等差中项法，证明，看是否从第一箱开始，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．（4）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减．

试题解析：【解析】
（1）令得， 1分

令，得，∴ 2分

（2）令，得：

∴，又，

∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列．∴

∴

∴ 8分

（3）∴

∴ 12分

考点：1、证明某数列等差数列；2、裂项求和．