Question

已知l₁：2x+y+6=0与l₂：3x-4y-6=0．
（1）求与l₂相距为2的直线l的方程；
（2）求l₁与l₂的夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设直线l：3x-4y+m=0，利用两条直线的距离公式建立关于m的方程，解出m=-16或4，可得所求直线l方程；
（2）利用两条直线的夹角公式，算出l₁与l₂的夹角θ满足tanθ=

11

2

，再利用同角三角函数的关系即可算出l₁与l₂的夹角的余弦值．

解答：解：（1）设直线l：3x-4y+m=0．
∵直线l与l₂相距为2
∴

|-6-m|

32+42

=2，解之得m=-16或4
因此直线l方程为3x-4y-16=0或3x-4y+4=0．
（2）求得l₁与l₂的斜率分别为k₁=-2，k₂=

3

4

设l₁与l₂的夹角为θ，则tanθ=

|k1-k2|

|1+k1k2|

=

|-2- 3 4 |

|1+(-2)× 3 4 |

=

11

2

由此可得cosθ=

1 1+tan2θ

=

1 1+( 11 2 )2

=

2 5

25

即l₁与l₂的夹角的余弦值等于

2 5

25

．

点评：本题给出两条直线，求它们夹角的余弦之值．着重考查了两条直线的距离公式、夹角公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．