Question

12．已知A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． 16π
• D． 32π

Answer 1

分析 当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，
此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{R}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×R$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故R=2，则球O的表面积为4πR²=16π，
故选：C．

点评 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．