Question

（12分） 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）在函数的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴；

（3）当满足什么关系时，在上恒取正值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）函数的图像上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴（3）

【解析】

试题分析：（1）由得， 由已知，故，

即函数的定义域为.                                          ……4分

（2）设 

则 ，

故，

，

即.在上为增函数.

假设函数的图像上存在不同的两点，使直线平行于轴，即，这与是增函数矛盾.故函数的图像上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴.                                            ……8分

（3）由（2）知，在是增函数，

在上也是增函数.

当时，.

只需，即，即，

时，在上恒取正值.                              ……12分

考点：本小题主要考查函数定义域的求解、函数性质的应用和恒成立问题的求解，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力.

点评：定义域和值域必须写成集合或区间的形式，恒成立问题一般转化成最值问题解决.