Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，结合sinC＞0，化简可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由a+b=4，利用基本不等式可得ab≤4，（当且仅当a=b=2成立），由三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，
∴$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，
即$\sqrt{3}$sin（A+B）=2sin²C，
∴$\sqrt{3}$sinC=2sin²C，且sinC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a+b=4，可得：4≥2$\sqrt{ab}$，解得：ab≤4，（当且仅当a=b=2成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，（当且仅当a=b=2成立），
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．