Question

2．已知一动点P在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内部，且点P到棱AB、AD、AA₁的距离的平方和为2，则动点P的轨迹和正方体的侧面所围成的几何体的体积为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$；
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 设出P的坐标，利用已知条件列出关系式，然后判断所求轨迹的形状，然后求解体积．

解答 解：设P（x，y，z），如图：由题意可得x²+y²+y²+z²+z²+x²=2，可得：x²+y²+z²=1．
P到A的距离为1，
几何体是以A为球心，半径为1的$\frac{1}{8}$球体．
几何体的体积为：$\frac{4π}{3}$×1³×$\frac{1}{8}$=$\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查几何体的判断与应用，考查转化思想以及空间想象能力，考查计算能力．