Question

16．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设OO₁=h（米），将y表示成h的函数关系式；
②设∠SDO₁=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．

Answer 1

分析 （1）分别用h，θ表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出y关于h（或θ）的关系式；
（2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值．

解答 解：（1）①当OO₁=h时，SO₁=8-h，SC=$\sqrt{S{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}-16h+80}$，
S_圆柱底=π×4²=16π，S_圆柱侧=2π×4×h=8πh，S_圆锥侧=π×4×$\sqrt{{h}^{2}-16h+80}$．
∴y=2（S_圆柱底+S_圆柱侧）+4S_圆锥侧=32π+16πh+16π$\sqrt{{h}^{2}-16h+80}$（h≥4）．
②若∠SDO₁=θ，则SO₁=4tanθ，SD=$\frac{4}{cosθ}$．∴OO₁=8-4tanθ．
∵OO₁≥4，∴0＜tanθ≤1．∴0$＜θ≤\frac{π}{4}$．
∴S_圆柱底=π×4²=16π，S_圆柱侧=2π×4×（8-4tanθ）=64π-32πtanθ，S_圆锥侧=π×4×$\frac{4}{cosθ}$=$\frac{16π}{cosθ}$．
∴y=2（S_圆柱底+S_圆柱侧）+4S_圆锥侧=32π+128π-64πtanθ+$\frac{64π}{cosθ}$=160π+64π（$\frac{1-sinθ}{cosθ}$）．
（2）选用y=160π+64π（$\frac{1-sinθ}{cosθ}$），则y′（θ）=64π$\frac{sinθ-1}{co{s}^{2}θ}$＜0，
∴y（θ）在（0，$\frac{π}{4}$]上是减函数，
∴当$θ=\frac{π}{4}$时．y取得最小值y（$\frac{π}{4}$）=160π+64π×$\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=96π+64$\sqrt{2}$π．
∴制作该存储设备总费用的最小值为96π+64$\sqrt{2}$π．

点评 本题考查了圆柱，圆锥的侧面积计算，导数在最值的应用，属于中档题．