Question

13．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上非顶点的一点A关于原点对称的点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\left.{\frac{π}{6}}）}\right.$，则双曲线离心率的取值范围是[$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，可设AF=m，BF=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，m²+n²=4c²，解得m，n，在直角三角形ABF中，tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，由正切函数值，解不等式，结合离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，AF⊥BF，
可得四边形AFBF'为矩形，
可设AF=m，BF=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，m²+n²=4c²，
由c²=a²+b²，
解得m=$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$+a，n=$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$-a，
在直角三角形ABF中，tan∠BAF=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}-a}{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}+a}$，
由∠BAF∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$），可得2-$\sqrt{3}$≤$\frac{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}-a}{\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}+a}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
化简可得（$\sqrt{3}$-1）$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$≥（3-$\sqrt{3}$）a，
即有b²≥a²，即c²≥2a²，即有e≥$\sqrt{2}$，
又（$\sqrt{3}$-1）$\sqrt{2{b}^{2}+{a}^{2}}$＞（1+$\sqrt{3}$）a，
可得b²＜（3+2$\sqrt{3}$）a²，即有c²＜（4+2$\sqrt{3}$）a²，
可得e＜1+$\sqrt{3}$，
综上可得，e的范围是[$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．
故答案为：[$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的定义和勾股定理的运用，考查锐角的正切函数的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．