Question

如图半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．
（1）写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域；
（2）求出周长y的最大值及相应x的值．

Answer 1

分析：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，设OE=a，则EB=2-a，由勾股定理得OC²-OE²=BC²-BE²，代入整理可得a；
周长y=AB+2BC+CD=4+2x+2a；由0＜a＜2，可得x的取值范围；
（2）函数y=-

x2

2

+2x+8是二次函数，定义域为x∈（0，

2

），用配方法可以求得y的最大值及对应x的值．

解答：解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
设OE=a，则EB=2-a，∴OC²-OE²=BC²-BE²，即2²-a²=x²-（2-a）²，∴a=

8-x2

4

；
∴y=AB+2BC+CD=4+2x+2a=4+2x+

8-x2

2

=-

x2

2

+2x+8；由0＜a＜2，得0＜

8-x2

4

＜2，∴0＜x＜2

2

；
所以，周长y=-

x2

2

+2x+8   x∈(0，2

2

)；
（2）周长函数y=-

x2

2

+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，其中x∈（0，2

2

），所以，当x=2时，y有最大值，为10．

点评：本题考查了二次函数模型的应用，利用二次函数的解析式求函数的最值时，通常用配方法解答；本题是基础题．