Question

5．某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面，若水渠的横断面面积设计为定值m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建成本最低？

Answer 1

分析 作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=$\frac{m}{3}$+$\frac{6-3cosα}{sinα}$（0°＜α＜90°），利用换元法令u=$\frac{2-cosα}{sinα}$，求出u取最小值时α的大小，可得结论．

解答 解：作BE⊥DC于E，如图1，
在Rt△BEC中，BC=$\frac{3}{sinα}$，CE=3cotα，
又AB-CD=2CE=6cotα，
S=$\frac{（AB+CD）×3}{2}$=m，即
AB+CD=$\frac{2}{3}$m，
故AB=$\frac{m}{3}$+3cotα，CD=$\frac{m}{3}$-3cotα．
设y=AD+DC+BC，
则y=$\frac{3}{sinα}$+$\frac{3}{sinα}$+$\frac{m}{3}$-3cotα=$\frac{m}{3}$+$\frac{6}{sinα}$-3cotα=$\frac{m}{3}$+$\frac{6}{sinα}$-$\frac{3cosα}{sinα}$=$\frac{m}{3}$+$\frac{6-3cosα}{sinα}$，（0°＜α＜90°），
由于m是常量，欲使y最小，只需$\frac{6-3cosα}{sinα}$=3×$\frac{2-cosα}{sinα}$取最小值，
设u=$\frac{2-cosα}{sinα}$，u可看作（0，2）与（-sinα，cosα）两点连线的斜率，
由于α∈（0°，90°），
点（-sinα，cosα）在曲线x²+y²=1（-1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，如图2，

当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则有sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且cosα=$\frac{1}{2}$，那么α=60°，
故当α=60°时，修建成本最低．

点评 本题主要考查函数的应用问题，考查三角函数的应用，根据条件其中求出水与渠壁的接触面y的解析式，将实际问题转化为函数问题，是解答的关键．综合性较强，有一定的难度．