题目内容
数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，（Ⅰ）求a1，a2，a3；
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得
为等差数列，求λ值；（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和．
【答案】分析：（Ⅰ）因为数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），且a4=365，所以利用递推式，
由a4求a3，由a3求a2，由a2求a1，
（Ⅱ）由
为等差数列，以及等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，所以可设
解出an，再根据（Ⅰ）中所求a1，a2，a3的值解出x，y，λ即可．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求出的an，利用错位相减法求数列{an}的前n项之和．
解答：解：（Ⅰ）由an=3an-1+3n-1，及a4=365知a4=3a3+34-1=365，则a3=95
同理求得a2=23，a1=5
（Ⅱ）∵
∴an=（xn+y）•3n-λ，又由a1=5，a2=23，a3=95
∴
．
（Ⅲ）∵
由上两式相减
=-n•3n+1
．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及错位相见求数列的和，做题时要善于观察，找到规律．
由a4求a3，由a3求a2，由a2求a1，
（Ⅱ）由
为等差数列，以及等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，所以可设解出an，再根据（Ⅰ）中所求a1，a2，a3的值解出x，y，λ即可．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求出的an，利用错位相减法求数列{an}的前n项之和．
解答：解：（Ⅰ）由an=3an-1+3n-1，及a4=365知a4=3a3+34-1=365，则a3=95
同理求得a2=23，a1=5
（Ⅱ）∵
∴an=（xn+y）•3n-λ，又由a1=5，a2=23，a3=95
∴
．（Ⅲ）∵
由上两式相减
=-n•3n+1
．点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及错位相见求数列的和，做题时要善于观察，找到规律．
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