Question

已知P为双曲线(a＞0,b＞0)上的任意一点,过P分别作双曲线的渐近线的平行线,分别与渐近线交于M、N两点,求证:|PM|·|PN|=c²(c为双曲线的半焦距).

Answer 1

解：设P点的坐标为(x₀,y₀),P到两渐近线的距离分别为h₁与h₂,则h₁=

∴

设∠MON=α(焦点在角内部),

则h₁·h₂=|PM|·|PN|·sin²α.

由,得

∴|PM|·|PN|=

绿色通道：

直接求|PM|·|PN|很困难,但通过观察图形我们发现,由于PN∥l₂,∠PMO与两渐近线所夹的角存在等量关系,因此,我们可求出P到两渐近线l₁、l₂的距离h₁与h₂的积,然后再通过h₁与h₂和|PM|与|PN|之间的关系转而求|PM|·|PN|的值.