Question

10．设集合A={1，2，…n}，n≥4，n∈N^*，若X⊆A，且2≤Card（X）≤n-2，（Card（X）表示集合X中的元素个数）令a_X表示X中最大数与最小数之和，则
（1）当n=5时，集合X的个数为20
（2）所有a_X的平均值为n+1．

Answer 1

分析 （1）当n=5时，集合A={1，2，3，4，5}，由X⊆A，且2≤Card（X）≤3，则满足条件的X共有：${∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}$=20个．
（2）对所有的X进行配对：①当Card（X）=2时，令X={x₁，x₂}，X′={n+1-x_i|x_i∈X}，必有X′⊆A，可得：${a_X}+{a_{X^/}}=2n+2$，如果X=X′则a_X=n+1．②同理，当Card（X）=k（2＜k≤n-2）时，也有上述结论．

解答 解：（1）当n=5时，集合A={1，2，3，4，5}，∵X⊆A，且2≤Card（X）≤3，∴X={1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{1，2，3}，{1，2，4}，}，{1，2，5}，{1，3，4}，}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，}，{2，4，5}，{3，4，5}．
因此共有${∁}_{5}^{2}+{∁}_{5}^{3}$=20个．
（2）对所有的X进行配对：
①当Card（X）=2时，
令X={x₁，x₂}，X′={n+1-x_i|x_i∈X}，必有X′⊆A，不妨设x₁＜x₂，则a_X=x₁+x₂，${a_{X^/}}=n+1-{x_1}+n+1-{x_2}=2n+2-（{x_1}+{x_2}）$．如果X≠X′，则有${a_X}+{a_{X^/}}=2n+2$，如果X=X′则a_X=n+1．
②同理，当Card（X）=k（2＜k≤n-2）时，
令X={x₁，x₂，…x_k}，X′={n+1-x&_i|x_i∈X}必有X′⊆A，不妨设x₁＜x₂＜…＜x_k，则a_X=x₁+x_k，${a_{X^/}}=2n+2-（{x_1}+{x_k}）$．如果X≠X′，则${a_X}+{a_{X^/}}=2n+2$，如果X=X′则a_X=n+1．
∴在每一组元素个数相同的子集中，a_X的平均值为n+1．
综上，所有a_X的算术平均值为n+1．
故答案分别为：20；n+1．

点评 本题考查了集合的运算性质、分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的能力、转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．