Question

5．设函数$f（x）=lnx+\frac{a}{x-1}$，（a＞0）
（Ⅰ）当$a=\frac{1}{30}$时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当$a≥\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞）时，求证：$lnx+\frac{a}{x-1}＞1$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为2（x-1）lnx+1＞2（x-1）当x＞1时成立，设g（x）=2（x-1）lnx-2（x-1）+1（x＞1），通过判断函数的单调性，求出g（x）的最小值，从而证明结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
当$a=\frac{1}{30}$时，$f'（x）=\frac{{（x-\frac{5}{6}）（x-\frac{6}{5}）}}{{x{{（x-1）}^2}}}$，…（3分）
令f′（x）＞0，得：$x＞\frac{6}{5}$或$x＜\frac{5}{6}$，所以函数单调增区间为：$（0，\frac{5}{6}）$，$（\frac{6}{5}，+∞）$，
令f′（x）＜0，得：$\frac{5}{6}＜x＜\frac{6}{5}$，所以函数单调减区间为：$（\frac{5}{6}，1）$，$（1，\frac{6}{5}）$…（5分）
（Ⅱ）若证$lnx+\frac{a}{x-1}＞1$，$（a≥\frac{1}{2}，x＞1）$成立，
只需证：$lnx+\frac{a}{x-1}≥lnx+\frac{1}{2（x-1）}＞1$，
即：2（x-1）lnx+1＞2（x-1）当x＞1时成立…（6分）
设g（x）=2（x-1）lnx-2（x-1）+1（x＞1），
∴$g'（x）=2（lnx-\frac{1}{x}）$，显然g′（x）在（1，+∞）内是增函数，
且g′（1）=-2＜0，$g'（2）=2（ln2-\frac{1}{2}）＞0$，
∴g′（x）=0在（1，2）内有唯一零点x₀，使得：$ln{x_0}-\frac{1}{x_0}=0$，
且当x∈（1，x₀），g′（x）＜0；
当x∈（x₀，+∞），g′（x）＞0．
∴g（x）在（1，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增…（10分），
g（x）_min=g（x₀）=2（x₀-1）（lnx₀-1）+1=$2（{{x_0}-1}）（{\frac{1}{x_0}-1}）+1$=$5-2（{x_0}+\frac{1}{x_0}）$，
∵x₀∈（1，2），∴$2＜{x_0}+\frac{1}{x_0}＜\frac{5}{2}$，
∴g（x）_min＞0，∴$lnx+\frac{a}{x-1}＞1$成立…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．