Question

4．已知A={x|（2^x）²-6•2^x+8≤0}，函数f（x）=log₂x（x∈A）． 
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数h（x）=[f（x）]²-log₂（2x），求函数h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）设t=2^x，把（2^x）²-6•2^x+8≤0转化为关于t的一元二次不等式求得t的范围，进一步求得x的范围得答案；
（2）设u=log₂x，由（1）u=log₂x∈[0，1]，然后利用配方法求得函数的值域．

解答 解：（1）设t=2^x，
∵A={x|（2^x）²-6•2^x+8≤0}，
∴t²-6t+8≤0，解得2≤t≤4，
∴x∈[1，2]，即函数f（x）的定义域为[1，2]；
（2）设u=log₂x，由（1）u=log₂x∈[0，1]，
∴$y={u}^{2}-u-1=（u-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$，
∴h（x）∈[$-\frac{5}{4}，-1$]．

点评 本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法及配方法求解函数的值域，是中档题．