Question

17．函数f（x）=2sin（πx）+$\frac{1}{1-x}$（x∈[-2，4]）的所有零点之和为4．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{1}{1-x}$+2sinπx=0得-$\frac{1}{1-x}$=2sinπx，分别作出函数y=-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{x-1}$与y=2sinπx的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数f（x）的所有零点即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{1-x}$+2sinπx=0得-$\frac{1}{1-x}$=2sinπx，
分别作出函数y=-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{1}{x-1}$与y=2sinπx的图象如图
则函数y=$\frac{1}{x-1}$与与y=2sinπx关于（1，0）点成中心对称，
由图象可知两个函数在区间[-2，4]上共有4个交点，
它们关于（1，0）点成中心对称，
不妨设关于点（1，0）对称的两个根为a，b，
则$\frac{a+b}{2}=1$，即a+b=2，
则所有零点之和为2（a+b）=2×2=4，
故答案为：4．

点评 本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．