Question

16．已知椭圆${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，A、B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上不与A、B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β，则$\frac{{cos（{α-β}）}}{{cos（{α+β}）}}$=$-\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 设P（cosθ，2sinθ），可得$tanα=\frac{2sinθ}{cosθ+1}，tanβ=\frac{2sinθ}{cosθ-1}$，代入$\frac{{cos（{α-β}）}}{{cos（{α+β}）}}$，化简整理即可得出．

解答 解：设P（cosθ，2sinθ），
∴$tanα=\frac{2sinθ}{cosθ+1}，tanβ=\frac{2sinθ}{cosθ-1}$，$\frac{{cos（{α-β}）}}{{cos（{α+β}）}}=\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$．
故答案为：-$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、三角函数化简求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．