已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.且过点(1.$\frac{\sqrt{6}}{3}$)．(1)求椭圆C的方程,(2)设与圆O:x2+y2=$\frac{3}{4}$相切的直线l交椭圆C于A.B两点.求△OAB面积的最大值.及取得最大值时直线l的方程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x²+y²=$\frac{3}{4}$相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．

分析（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．

解答解：（1）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
点（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）代入椭圆方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{3{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）①当k不存在时，x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，可得y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$；
②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
由直线l与圆O：x²+y²=$\frac{3}{4}$相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有4m²=3（1+k²），
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}）^{2}-\frac{12（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}}$
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{1+10{k}^{2}+9{k}^{4}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4{k}^{2}}{1+6{k}^{2}+9{k}^{4}}}$
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$≤$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4}{2\sqrt{9}+6}}$=2，
当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$ 即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立，
可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•r≤$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时直线方程y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x±1．