Question

13．已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量$\overrightarrow{m}$满足|$\overrightarrow{m}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，且$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$sin$\frac{B+C}{2}$，cos$\frac{B-C}{2}$），若A最大时，动点P使得|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{BC}$|、|$\overrightarrow{PC}$|成等差数列，则$\frac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$sin$\frac{B+C}{2}$，cos$\frac{B-C}{2}$），两边平方可得cosBcosC=3sinBsinC，可得tanBtanC=$\frac{1}{3}$，运用两角的正切公式，和基本不等式可得当A最大时，C=B=30°，由|PB|，|CB|，|PC|成等差数列，知M的轨迹是以C，B为焦点、2|CB|为长轴的椭圆，由此能求出$\frac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$²=（$\sqrt{2}$sin$\frac{B+C}{2}$）²+（cos$\frac{B-C}{2}$）²
=1-cos（B+C）+$\frac{1}{2}$（1+cos（B-C））=$\frac{3}{2}$，
即有2cos（B+C）=cos（B-C），
即为2cosBcosC-2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC，
即有cosBcosC=3sinBsinC，
可得tanBtanC=$\frac{1}{3}$，
tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$
=-$\frac{3}{2}$（tanB+tanC）≤-3$\sqrt{tanBtanC}$=-$\sqrt{3}$，
即有B=C时，tanA取得最大值-$\sqrt{3}$，
即A取最大角120°，此时B=C=30°，
∵若A最大时，动点P使得|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{BC}$|、|$\overrightarrow{PC}$|成等差数列，
∴|PC|+|PB|=2|BC|，
∴P的轨迹是以C，B为焦点、2|BC|为长轴的椭圆，
∵比值与单位的选择无关，∴设|BC|=2，CB的中点为O，
由C=B，知|AO|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直观判断，当P是上述椭圆的短轴端点（与点A在CB的两侧），
这时|OP|=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查斜率模的比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意向量、数列、椭圆等知识点的综合运用．