Question

设函数．

(1)求f(x)的单调区间和极值;

(2)关于的方程f(x)=a在区间上有两个根,求a的取值范围．

 

Answer 1

(1) 当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值． (2) 或

【解析】

试题分析：(1) 先对原函数求导，然后列表求出单调区间和极值即可; (2) 关于的方程f(x)=a在区间上有三个根,即函数y=a与y=f（x）的图象在区间上有三个交点，只需要函数y= f(x) 和函数y=a 的图像有两个交点．根据函数单调性变化情况，可求得实数a的范围．

(1) ,由得 (2分)

x		0		3
f’(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	极小值-1	↗	极大值	↘

 

由上表得, f(x)的单调增区间为,单调减区间为,;

当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值． (6分)

(2)由题知,只需要函数y= f(x) 和函数y=a 的图像有两个交点． (7分)

,所以

由(1)知f(x)在,当上单调递减,上单调递增,在在上单调递减． (10分)

∴当或 时, y= f(x) 和y=a 的图像有两个交点．即方程f(x)=a在区间上有两个根． (12分)

考点：函数的单调区间和极值;函数图像的交点与方程的根的对应关系．