Question

5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+2．
（1）若f（A）=2，求角A的大小；
（2）在（1）成立的情况下，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinC）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，且a=3，求b+c的值．

Answer 1

分析 利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式．
（1）将f（A）=2，求角A的大小；
（2）利用条件及两个向量共线的性质，正余弦定理来求b、c的值．

解答 解：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）∵f（A）=2，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，则A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinC）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
∴2sinC=sinB．
由正弦定理得到：$\frac{b}{2sinC}$=$\frac{c}{sinC}$，则b=2c．
由余弦定理得到：a²=b²+c²-2bccosA，即9=4c²+c²-2×2c²×$\frac{1}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$，
∴b+c=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算求解的能力，属于中档题．