Question

19．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：p=$\frac{k}{x+5}$（0≤x≤8），若距离为1km时，宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．
（1）求f（x）的表达式，并写出其定义域；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）根据距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元，可求k的值，由此，可得f（x）的表达式；
（2）f（x）=$\frac{600}{x+5}$+6（x+5）-25，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

解答 解：（1）根据题意，距离为1km时费用为100万元，即当x=1时，p=100
∴100=$\frac{k}{1+5}$，∴k=600…（3分）
∴f（x）=$\frac{600}{x+5}$+5+6x，0≤x≤8…（7分）
（2）f（x）=$\frac{600}{x+5}$+6（x+5）-25≥95…（11分）
当且仅当$\frac{600}{x+5}$=6（x+5），即x=5时取“=”…（14分）
答：宿舍距离工厂5km时，总费用最小为95万元…（16分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，注意基本不等式的使用条件．