题目内容
定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R），使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列说法中正确的序号是 ．
①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的“倍增函数”，则y=f（x）至少有1个零点；
②函数f（x）=2x+1是“倍增函数”，且“倍增系数”λ=1；
③函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函数”；
④函数f（x）=
是“倍增函数”，且“倍增系数”λ∈（0，1）．
①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的“倍增函数”，则y=f（x）至少有1个零点；
②函数f（x）=2x+1是“倍增函数”，且“倍增系数”λ=1；
③函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函数”；
④函数f（x）=
| e | -x |
考点：进行简单的合情推理
专题：函数的性质及应用
分析：函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，知f（x-2）=-2f（x），由此得到y=f（x）至少有1个零点，知①正确；
由f（x）=2x+1是倍增函数，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故由λ=
≠1，知②不正确；
因为f（x）=log2x的定义域不是R可判断③正确；
由f（x）=e-x是倍增函数，得到λ=
∈（0，1），知④正确．
由f（x）=2x+1是倍增函数，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故由λ=
| 2x |
| 2x-1 |
因为f（x）=log2x的定义域不是R可判断③正确；
由f（x）=e-x是倍增函数，得到λ=
| 1 |
| eλ |
解答：
解：∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，
∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，
由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，f（x0）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=
≠1，故②不正确；
∵f（x）=log2x的定义域不是R，
∴函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函数”，故③正确；
∵f（x）=e-x是倍增函数，
∴e-（x+λ）=λe-x，
∴
=
，
∴λ=
∈（0，1），故④正确．
故答案为：①③④
∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，
由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，f（x0）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=
| 2x |
| 2x-1 |
∵f（x）=log2x的定义域不是R，
∴函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）不可能是“倍增函数”，故③正确；
∵f（x）=e-x是倍增函数，
∴e-（x+λ）=λe-x，
∴
| 1 |
| exeλ |
| λ |
| ex |
∴λ=
| 1 |
| eλ |
故答案为：①③④
点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用，合理地地进行等价转化．
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标号为0到9的10瓶矿泉水．若f（x）=
，向量
=（m，2），
=（2，3）相互垂直，则f（m）等于（ ）
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| a |
| b |
| A、2 | ||
| B、4 | ||
C、
| ||
D、
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