Question

2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x²-2x+y²=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；
（Ⅱ）设P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的动点，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；
（Ⅱ）设P点坐标为（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{\sqrt{2}}$，利用三角形的面积公式，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2分）
直线l的直角坐标方程为y=x，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}-2x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，（4分）
所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|=$\sqrt{2}$ （6分）
因为P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的点，设P点坐标为（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），（7分）
则P到直线y=x的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{\sqrt{2}}$，（8分）
所以S_△PMN=$\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{6}）|}{2}$≤1，（9分）
当θ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z时，S_△PMN取得最大值1．（10分）

点评 本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化，考查化归与转化思想，数形结合思想．