Question

在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中，且.

（1）求点C的轨迹方程.

（2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值.

（3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由向量等式运算，得点的坐标，消去参数即得点的轨迹方程；

（2）将直线方程与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出，再结合向量的垂直关系得到关于的关系，化简即可证明是定值；

（3）由（2）得，整理得，又，得，解得双曲线实轴长的取值范围.

试题解析：（1）设，由

则

（2），

设M（）N（）则，

即

韦达定理代入化简得 （定值）

（3）

又 代入得

该双曲线实轴的取值范围为

考点：轨迹方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.