Question

12．已知F_n（x）=（-1）⁰C_n⁰f₀（x）+（-1）¹C_n¹f_i（x）+…+（-1）ⁿC_nⁿf_n（x），（n∈N^*）（x＞0），其中，f_i（x）（i∈{0，1，2，…，n}）是关于x的函数．
（1）若f_i（x）=xⁱ（i∈N），求关于F₂（1），F₂₀₁₇（2）的值；
（2）若f_i（x）=$\frac{x}{x+i}$（i∈N），求证：F_n（x）=$\frac{n!}{（x+1）（x+2）…（x+n）}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由f_i（x）=xⁱ（i∈N），求出F_n（x）=（1-x）ⁿ，由此能求出F₂（1）和F₂₀₁₇（2）．
（2）由f_i（x）=$\frac{x}{x+i}$（i∈N），知F_n（x）=$\sum_{i=0}^{n}[（-1）^{i}{C}_{n}^{i}\frac{x}{x+i}]$，（n∈N^*），由此利用数学归纳法能证明F_n（x）=$\frac{n!}{（x+1）（x+2）…（x+n）}$（n∈N^*）．

解答 解：（1）∵f_i（x）=xⁱ（i∈N），
∴F_n（x）=（-1）⁰C_n⁰x⁰+（-1）¹C_n¹x¹+…+（-1）ⁿC_nⁿxⁿ=（1-x）ⁿ，
∴F₂（1）=（1-1）²=0，
F₂₀₁₇（2）=（1-2）²⁰¹⁷=-1．
证明：（2）∵f_i（x）=$\frac{x}{x+i}$（i∈N），
∴F_n（x）=（-1）⁰C_n⁰f₀（x）+（-1）¹C_n¹f_i（x）+…+（-1）ⁿC_nⁿf_n（x）=$\sum_{i=0}^{n}[（-1）^{i}{C}_{n}^{i}\frac{x}{x+i}]$，（n∈N^*），
①当n=1时，F_n（x）=$\sum_{i=0}^{1}[（-1）^{i}{C}_{1}^{i}\frac{x}{x+i}]$=1-$\frac{x}{x+1}$=$\frac{1}{x+1}$，∴n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即F_k（x）=$\sum_{i=0}^{k}[（-1）^{i}{C}_{k}^{i}\frac{x}{x+i}]$=$\frac{k!}{（x+1）（x+2）…（x+k）}$，
则当n=k+1时，F_k+1（x）=$\sum_{i=0}^{k+1}[（-1）^{i}{C}_{k+1}^{i}\frac{x}{x+i}]$
=1+$\sum_{i=1}^{k}[（-1）^{i}{C}_{k+1}^{i}\frac{x}{x+i}]$+（-1）${\;}^{k+1}{C}_{k+1}^{k+1}\frac{x}{x+k+1}$
=$1+\sum_{i=1}^{k}[（-1）^{i}（{C}_{k}^{i}+{C}_{k}^{i-1}）\frac{x}{x+i}]$+$（-1）^{k+1}{C}_{k+1}^{k+1}\frac{x}{x+k+1}$
=$\sum_{i=0}^{k}[（-1）^{i}{C}_{k}^{i}\frac{x}{x+i}]+\sum_{i=1}^{k+1}[（-1）^{i}{C}_{k}^{i-1}\frac{x}{x+i}]$
=${F}_{k}（x）-\sum_{i=1}^{k+1}[（-1）^{i-1}{C}_{k}^{i-1}\frac{x}{x+i}]$
=${F}_{k}（x）-\sum_{i=0}^{k}[（-1）^{i}{C}_{k}^{i}\frac{x}{x+i+1}]$
=${F}_{k}（x）-\sum_{i=0}^{k}[（-1）^{i}{C}_{k}^{i}\frac{x+1}{x+1+i}]\frac{x}{x+1}$
=${F}_{k}（x）-\frac{x}{x+1}{F}_{k}（x+1）$
=$\frac{k!}{（x+1）（x+2）…（x+k）}$-$\frac{k!}{（x+2）（x+3）…（x+1+k）}•\frac{x}{x+1}$
=$\frac{（x+1+k）•k!-xk!}{（x+1）（x+2）…（x+k）（x+1+k）}$
=$\frac{（k+1）1}{（x+1）（x+2）（x+3）…（x+1+k）}$，
∴n=k+1时，结论也成立．
结合①②知F_n（x）=$\frac{n!}{（x+1）（x+2）…（x+n）}$（n∈N^*）．

点评 本题考查函数值的求法，考查函数解析式的证明，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，解题时要注意数学归结法的合理运用．