Question

12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，E为AD的中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求异面直线CD与PB所成角的大小；
（3）画出平面PAB与平面PCD的交线，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理证明CD⊥平面PAC，进而再利用线面平行的判定定理证明CE∥平面PAB；
（2）连接BE，PE，则∠PBE是异面直线PB与CD所成的角，然后解三角形，求异面直线PB与CD所成角的大小；
（3）延长AB和DC交点为F，根据公理3和公理1，可得PF即为平面PAB与平面PCD的交线．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴CD⊥PA，
又∵CD⊥PC，PC∩PA=P，
∴CD⊥面PAC，
∵AB⊥BC，AB=BC=1
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=45°，
又由CD⊥面PAC，
∴CD⊥AC
∴△ACD为等腰直角三角形，
又E为AD中点，
∴CE⊥AD，
又∵BC∥AD，
∴CE⊥BC
∴CE∥AB，
而AB?面PAB，CE?面PAB
∴CE∥面PAB，
（2）连接PE，如下图所示：

由（1）可得BE∥CD，
∴∠PBE即为异面直线CD与PB所成角，
∵AB=BC=1，PA=AD=2，E为AD的中点．
∴PB=PE=BE=$\sqrt{2}$，
∴∠PBE=$\frac{π}{3}$，
故异面直线CD与PB所成角的大小为$\frac{π}{3}$；
（3）延长AB和DC交点为F，则
PF即为：平面PAB与平面PCD的交线，如下图所示：

P和F均为平面PAB与平面PCD的公共点，
根据公理3和公理1，可得PF即为平面PAB与平面PCD的交线．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，异面直线的夹角，难度中档．