题目内容

设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a
GA
+21b
GB+
15c
GC
=0，则sin∠ABC______．
∵G为△ABC的重心，
∴
GA
+
GB
+
GC
=0，即
GC
=-
GA
-
GB
，
代入已知等式整理得：（35a-15c）
GA
+（21b-15c）
GB
=0，
∵
GA
，
GB
不共线，
∴35a-15c=0，21b-15c=0，即a=
3
7
c，b=
5
7
c，
设c=7t，则a=3t，b=5t，
根据余弦定理得：cos∠ABC=
a2+c2-b2
2ac
=
9t2+49t2-25t2
2×3t×7t
=
11
14
，
∵∠ABC为三角形的内角，
∴sin∠ABC=
1-cos2∠ABC
=
1-(
11
14
)2
=
5
3
14
．
故答案为：
5
3
14
练习册系列答案
相关题目
设G为△ABC的重心，O为平面ABC外任意一点，若
OA
+
OB
+
OC
=m
OG
，则m=
3
3
．
设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
，△ABC和△APQ的面积分别为S、T．
（1）求证：
1
λ
+
1
μ
=3；
（2）求
T
S
的取值范围．
设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a
GA
+21b
GB
+15c
GC
=0，则sin∠ACB=
3
2
3
2
．
设G为△ABC的重心，
3
|BC|
GA
+2|CA|
GB
+2
3
|AB|
GC
=
0
，则
AB
•
BC
BC
•
AC
的值=
-
1
3
-
1
3
．
设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a
GA
+21b
GB+
15c
GC
=0，则sin∠ABC
5
3
14
5
3
14
．

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