Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_2n}和数列{a_2n-1}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3n+1（n∈N^*），可得a₁+a₂=4，解得a₂．又a_n+1+a_n+2=3n+4，可得a_n+2-a_n=3，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）数列{a_n}的前2n项和S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n），利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+a_n+1=3n+1（n∈N^*），∴a₁+a₂=4，解得a₂=3．
又a_n+1+a_n+2=3n+4，可得a_n+2-a_n=3，
∴数列{a_2n}，{a_2n-1}都是公差为3的等差数列，
a_2n=3+3（n-1）=3n；a_2n-1=1+3（n-1）=3n-2．（n∈N^*）．
（2）数列{a_n}的前2n项和S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$+$\frac{n（3+3n）}{2}$
=3n²+n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．