Question

6．平面a截半径为R的球O得到一个半径为$\frac{{\sqrt{3}R}}{2}$的截面圆O′，三棱锥S-ABC内接于球O，且△ABC是圆O′的内接正三角形，若O′S=R，则三棱锥S-ABC与球O的体积之比为$\frac{{9\sqrt{3}}}{256π}$．

Answer 1

分析 求出AB，可得三棱锥S-ABC的体积，求出球O的体积，即可求出三棱锥S-ABC与球O的体积之比．

解答 解：由题意，$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{{\sqrt{3}R}}{2}$，∴AB=$\frac{3}{2}$R，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{3}{2}）^{2}$R²=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$R²，
∵O′S=R，∴O′到平面ABC的距离为$\frac{R}{4}$，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{16}{R}^{2}×\frac{R}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{64}{R}^{3}$，
∴三棱锥S-ABC与球O的体积之比为$\frac{3\sqrt{3}}{64}{R}^{3}$：$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{256π}$．
故答案为：$\frac{{9\sqrt{3}}}{256π}$．

点评 本题考查了棱锥与球的关系，棱锥与球的体积计算，属于基础题．