Question

椭圆C的方程为（a，b＞0），其右焦点F₂（1，0），右准线为x=2，斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点，并且和椭圆相交于M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，问点P能否落在椭圆C的外部，如果会，求出斜率k的取值范围；不会，说明理由；
（3）直线l与右准线交于点A（x_A，y_A），且y_A＞0，又有，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件，可得a，b的值，最后写出椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用点P在椭圆的外部即可求得k值取值范围，从而解决问题．
（3）根据向量条件，得出y₁与y₂的关系式，利用根与系数的关系得出k与λ的等式，由k＞0，得出关于λ的不等关系，解得λ的取值范围．
解答：解：（1）由条件，
可得a²=2，b²=1，
所以椭圆C的方程为；
（2）设直线l：y=k（x-1），联立椭圆方程，
消去x，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，①
消去y，可得（2k²+1）y²+2ky-k²=0，②
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点P（x₁+x₂，y₁+y₂），
由根与系数的关系，得：
x₁+x₂=，y₁+y₂=．
∴，
如果点P在椭圆的外部，则有，
解得，．
所以，当时，点P在椭圆的外部
（3）根据条件，y_A=k＞0，又，
所以，y₁=-λy₂
由方程②中根与系数的关系得：
，
，
由（1）²÷（2）整理得，
由k＞0，，
解得，且λ≠1．即为λ的取值范围．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．