题目内容

14．函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则$\frac{2a+b}{ab}$的最小值是（　　）
A．2B．3$\sqrt{2}$C．1D．4

分析 求导数，利用f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，得到f′（1）=2a+b=2（a＞0，b＞0），利用基本不等式，代入计算可得结论．

解答 解：∵f（x）=ax2+bx，
∴f′（x）=2ax+b，
∵f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
∴f′（1）=2a+b=2（a＞0，b＞0），
∴2$≥2\sqrt{2ab}$（2a=b=1时取等号），
∴ab≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥4，
∴$\frac{2a+b}{ab}$的最小值是4．
故选：D．

点评 本题考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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3．如图：在三棱锥A-BCD中，P∈AC，Q∈BD，若VA-BPQ=6，VB-CPQ=2，VQ-PCD=8，则三棱锥A-BCD的体积VA-BCD为（　　）
A．22B．34C．32D．40
5．函数f（x）在点x0处取得极值，则必有（　　）
A．f′（x0）=0B．f′（x0）＜0
C．f′（x0）=0且f″（x0）＜0D．f′（x0）或f′（x0）不存在
2．已知函数f（x）=ax2+lnx（a为正实数），且f（x）的导函数f′（x）在x=$\frac{1}{2}$处取极小值．
（1）求实数a的值；
（2）设函数g（x）=3x+x2，若方程f（x）-g（x）+m=0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]内恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围（参考数据：ln2≈0.693）；
（3）记函数h（x）=f（x）-$\frac{3}{2}$x2-（b+1）x（b≥$\frac{3}{2}$）．设x1，x2（x2＞x1＞0）是函数h（x）的两个极值点，点A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2）），直线AB的斜率为kAB．若kAB≤$\frac{r}{{x}_{1}{-x}_{2}}$对任意x2＞x1＞0恒成立，求实数r的最大值．
9．设f（x）=ex（ax2+3），其中a为实数，e为自然对数的底数
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）为[1，2]上的单调函数，求a的取值范围．
19．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：
sin230°+sin290°+sin2150°=$\frac{3}{2}$
sin25°+sin265°+sin2125°=$\frac{3}{2}$
sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=$\frac{3}{2}$．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体体积=4．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn=-3n2+49n．
（1）请问数列{an}是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和．
4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点A（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点F1的直线l交椭圆于C，D两点，右焦点为F2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|CF2|，|CD|，|DF2|成等差数列，求直线l的方程．

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