Question

若定义在R上的函数对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2成立，且当x＞0时，f（x）＞-2．
（1）求证：f（x）+2为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（1）=-1，f（log₂m）＜2，求m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）要判断函数的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．现在要判断f（x）+2的奇偶性即就是判断[f（x）+2]+[f（-x）+2]是否等于0．首先令x₁=x₂=0得到f（0）=-2；然后令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）+2，证出即可；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x₁＜x₂∈R，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小即可知道增减性．
（3）先求出f（4）=2，再构造不等式，根据对数函数的单调性即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2成立，
令x₁=x₂=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）+2，
∴f（0）=-2，
令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）+2，
∴f（-x）+2=-[f（x）+2]，
∴f（x）+2为奇函数．
（2）由（1）知，f（x）+2为奇函数，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+2=f（x₂）-[f（x₁）+2]=f（x₂）-f（x₁）-2．
∵当x＞0时，f（x）＞-2，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+2＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，且f（1）=-1，
∴f（2）=f（1）+f（1）+2，
∴f（2）=0，
∴f（4）=f（2）+f（2）+2=2，
∵f（log₂m）＜2=f（4），且f（x）是R上的增函数，
∴

m＞0 log2m＜4

解得0＜m＜16
∴m的取值范围为（0，16）．

点评：本题考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力，灵活运用题中已知条件的能力，属于中档题