Question

11．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}，\;\;x≤1\\-{x^2}+2x+1，\;\;x＞1\end{array}$的值域是（-∞，2]．

Answer 1

分析 根据定义域的不同，求出对应解析式的值域即可得到f（x）的值域．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}，\;\;x≤1\\-{x^2}+2x+1，\;\;x＞1\end{array}$，
当x≤1时，f（x）=2^x，根据指数函数性质可知，f（x）是增函数，其值域为（0，2]；
当x＞1时，f（x）=-x²+2x+1，根据二次函数性质可知，开口向下，对称轴x=1，其值域为（-∞，2）；
综上得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}，\;\;x≤1\\-{x^2}+2x+1，\;\;x＞1\end{array}$的值域为（-∞，2]．
故答案为（-∞，2]．

点评 本题考查了分段函数的值域问题，注意定义域范围和相应的解析式．属于基础题．