Question

设函数f(x)＝ln x－－ln a(x>0，a>0且为常数)．

(1)当k＝1时，判断函数f(x)的单调性，并加以证明；

(2)当k＝0时，求证：f(x)>0对一切x>0恒成立；

(3)若k<0，且k为常数，求证：f(x)的极小值是一个与a无关的常数．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析

【解析】【解析】
(1)当k＝1时，

f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，

因为f′(x)＝－·x－－x－

＝－≤0，

所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数．

(2)证明：当k＝0时，

f(x)＝ln x＋x－－ln a，故

f′(x)＝－＝.

令f′(x)＝0，解得x＝.

当0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上是单调减函数；

当x>时，f′(x)>0，f(x)在上是单调增函数．

所以当x＝时，f′(x)有极小值，

为f＝2－2ln 2.

因为e>2，所以f(x)的极小值，

为f＝2(1－ln 2)＝2ln>0.

所以当k＝0时，f(x)>0对一切x>0恒成立．

(3)证明：

f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，

所以f′(x)＝.

令f′(x0)＝0，得kx0－2＋a＝0.

所以＝

（舍去）.

所以x0＝.

当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)在(0，x0)上是单调减函数；

当x>x0时，f′(x)>0，f(x)在(x0，＋∞)上是单调增函数．

因此，当x＝x0时，f(x)有极小值f(x0)．

又f(x0)＝ln－k＋，

而＝是与a无关的常数，所以ln，－k，均与a无关．

所以f(x0)是与a无关的常数．

故f(x)的极小值是一个与a无关的常数．