题目内容

过双曲线C：x2-
y2
m2
=1的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，其k1、k2满足关系式k1•k2=-m2且k1+k2≠0，k1＞k2
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m2=2+
3
时，若∠MAN=60°，求直线MA、NA的方程．
（1）C：x2-
y2
m2
=1的右顶点A坐标为（1，0）
设MA直线方程为y=k1（x-1），代入m2x2-y2-m2=0中，整理得（m2-k1）x2+2k12x-（k12+m2）=0）
由韦达定理可知xm•xA=
k21
+m2
k21
-m2
，而xA=1，又k1k2=-m2
∴xm=
k21
+m2
k21
-m2
=
k21
-k1k2
k21
+k1k2
=
k1-k2
k1+k2

于是ym=k1(xm-1)=k1(
k1-k2
k1+k2
-1)=
-2k1k2
k1+k2

由同理可知yn=
-2k1k2
k1+k2
，于是有ym=yn
∴MN∥x抽，从而MN直线率kMN=0．
（2）∵∠MAN=60°，说明AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°．
则
k2-k1
1+k1k2
=
3
或
k1-k2
1+k1k2
=
3
，
又k1k2=-(3+
3
)，k1＞k2
从而
k2-k1=-3-
3
k1k2=-(2+
3
)

则求得
k1=1
k2=-(2+
3
)
或
k1=2+
3
k2=-1

因此MA，NA的直线的方程为y=x-1，y=-(2+
3
)(x-1)
或为y=(2+
3
)(x-1)，y=-（x-1）．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①已知椭圆
x2
16
+
y2
8
=1的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是
 
．（把你认为正确命题的序号都填上）
双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为
x±y=0
x±y=0
；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且
PA
=2
AQ
，则直线l的斜率为
±3
±3
．
给出下列命题：
①已知椭圆
x2
16
+
y2
8
=1的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
给出下列命题：
①已知椭圆的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）
已知双曲线C：和圆O：x2+y2=b2（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x，y）引圆O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值．

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